第427章 1970年的圣诞节 (第3/3页)

办的数学家大会上，我提到过，我和蓬皮杜总统聊到庞加莱猜想，让我有了一些灵感。

    当时我说的是，也许四年后能找到解法，但好像不需要四年，半年时间，我已经找到了解法。”

    这是专属於教授的凡尔赛时刻。

    “各位，先让我们想像一个封闭的、没有边缘的三维空间。”林燃在黑板上画了一个扭曲的、不规则的球体，像是一个被揉皱的纸团，然后面对著台下的眾人说道：“庞加莱曾经问我们：如果一个三维流形中，任何一条闭合的曲线都可以连续收缩成一个点，那么这个流形是否一定等同於一个三维球面？”

    他转过身，粉笔在黑板上重重一点：“六十年来，我们都在试图用拓扑学的手术刀去切割它，去缝合它。

    但今天，我想向各位展示一种新的方法：热流。”

    林燃在黑板上行写了一个方程式，来自法兰西的皮埃尔一下就就看出了方程的恐怖之处，左边是度量张量隨时间的变化率，右边是里奇曲率张量。

    “为了让大家理解它，我们得先忘掉几何，想一想物理。

    大家都知道傅立叶的热传导方程。

    如果你在一个不规则的金属块上加热，热量会怎么流动？

    它会从高温区流向低温区，直到整个金属块的温度变得均匀。

    热流方程本质上是在平滑温度的差异。

    而我的这个方程，就是在几何上模擬热传导。

    只不过，这里流动的不是热量，而是曲率。

    想像一个畸形的三维空间，就像一个表面凹凸不平的土豆。

    在这个方程的演化下，曲率大的地方会收缩，曲率小的地方会扩张。

    就像热量扩散一样，空间的畸变会隨著时间的推移而逐渐被抚平。

    在数学上，我们定义git（t）为黎曼度量族。

    隨著t的增加，无论这个流形最初多么扭曲，它都在试图进化成一个拥有常截面曲率的完美形態。”

    说到这里，林燃停顿了片刻，眉头紧锁，似乎在面对一个看不见的敌人。

    “但是，这里有一个致命的陷阱，那就是奇点。

    他在黑板上重新画了一个哑铃形状的物体，中间连接的把手非常细。

    “当里奇流作用於这个哑铃时，两端的球体会变圆，但中间的连接颈部会收缩得比其他地方更快。

    当曲率趋向於无穷大时，这个颈部会断裂。

    在数学上，这意味著方程爆破，演化停止。

    “台下的数学家们屏住了呼吸。

    这就是几十年来拓扑学家们的噩梦。

    “如果是过去，我们会在这里停下，宣布失败。”

    但现在我们可以引入了一个手术。”

    林燃用手作挥舞状，似乎手就是一把刀。

    “在奇点即將形成的前一刻，我们人为地切断这个颈部，將两个断开的埠分別用一个標准的球冠封死。

    然后，让新的流形继续按照里奇流方程演化！

    切断、封口、继续演化；再遇到奇点，再切断、再封口...”

    林燃仿佛指挥家在指挥一场宏大的交响乐：“当我们不断重复这个过程，隨著时间t趋向於无穷大，那些复杂的、纠缠的拓扑结构会被一个个分解。

    最后，我们会发现，剩下的所有碎片，都是我们熟悉且標准的三维球体。”

    林燃双手撑著讲台，扫视全场：“如果我们能证明，任何单连通的封闭三维流形，在经过里奇流和手术的洗礼后，最终都不可避免地退化为標准球体。

    那么，我们就反向证明了—一它们最初的本质，就是球体。

    这，就是庞加莱猜想的终结。

    接下来让我们正式进入到论证的过程中去...”

    台下的听眾们仿佛刚刚经歷了一场思维的过山车。

    林燃没有使用晦涩难懂的拓扑学术语，同调群或基本群，而是用热量和手术这两个比喻展示了如何將一个复杂的宇宙，规训为最完美的几何形態。

    这给听眾们带来的不仅是数学的胜利，也是哲学的思考：混乱终將归於秩序。

    今天的场合，陈景润没有出席，因为害怕被华国代表团给认出来。

    坐在姜立夫身边的是陈省身，他用中文说道：“姜先生，教授这是在用这样的方式欢迎你们的到来。”

    陈省身是姜立夫的学生，姜立夫闻言讶异道：“为什么这么说？”

    “如果没有你们的到来，教授一般都是直接开始讲方程式，根本就不会用比喻来让我们听懂。

    在他看来，我们要听他的课，需要提前做好充分的准备，听不懂也没事，只需要有一个人听懂就行，不需要所有人都能懂。

    他这是考虑到华国代表团和世界数学脱节有些久，所以...”陈省身没有说完，但意思已经表达到位了。

    姜立夫解释道：“省身，你误会了，我们没有和世界数学脱节，我们能看到来自西方世界的数学学术期刊，不然你寄给我的数学新进展杂誌是怎么收到的？

    我们欢迎你回国讲课，你有一点说对了，我们需要来自全球的数学家来推动华国数学向前发展。”

    陈省身没有再多说，把目光投向林燃，台上的讲解还在继续。

    林燃已经擦掉了那些生动的土豆和哑铃图形。

    他转过身，面对著干净的黑板。

    现在开始只有分析。

    “为了证明流形的收敛性，我们需要控制曲率的增长。

    首先，我们推导標量曲率r的演化方程。”林燃在黑板左侧写下了第一个关键算式。

    “大家请看，这不仅仅是一个热方程。

    德尔塔是拉普拉斯项，负责扩散；但2ric的立方则是一个非线性的反应项。

    正是这一项，导致了曲率在有限时间內可能爆破到无穷大。”

    台下的听眾们在笔记本上记下了这个公式。

    功力深厚的数学家已经捕捉到了灵感。

    这个方程揭示了里奇流的本质，反应—扩散系统。

    “为了控制这种爆破，我引入了一个全新的工具，我將它命名为微分伦道夫不等式。”

    同样的，数学的演化有过程，原时空佩雷尔曼的证明，需要有哈密顿的工作作为前缀。

    现在林燃相当於一手包办了两个人的工作，从工具到证明全都自己来。

    林燃手中的粉笔在黑板上飞速移动，写下了一个占据了半面黑板的复杂不等式，其中包含了曲率的梯度和时间导数。

    “通过这个不等式，我们可以將不同时空的曲率联繫起来。

    它保证了曲率不会无序地增长，而是遵循某种严格的几何约束。”

    现场的数学家们开始感到窒息。

    这是极高技巧的几何分析，是对偏微分方程的极致运用。

    越懂行越室息，作为微分几何大师级人物，陈省身是最服气的。

    “有了这个不等式，我们就可以对奇点进行分类。”

    林燃走到了黑板的中央，画出了一个局部放大的几何结构，並在旁边標註了极限方程：“当t趋向於奇点时刻t，如果我们对流形进行尺度缩放，使其曲率保持有界。

    我们会发现，在极限状態下，流形必然收敛於一类特殊的解...”

    最后林燃转过身，並没有写下.d.，而是扔掉了手中的粉笔头，拍了拍手上的灰尘说道：“逆向推导，原始流形m必然同胚於三维球面s3。”

    黑板上，密密麻麻的算式如同繁星般排列。

    人类理性的极致光辉再次闪耀，所有出席的数学家都感到不虚此行。

    陈省身甚至感到眩晕。

    因为精妙的微积分技巧和宏大的几何直觉的完美结合，让他意识到，这不仅是解决了庞加莱猜想，这甚至开创了一个全新的数学分支。

    掌声，再次如同海啸般爆发。

『加入书签，方便阅读』